Lineāras atkarīgās un neatkarīgās rindas: definīcija, piemēri

Šajā publikācijā mēs apskatīsim, kas ir virkņu lineāra kombinācija, lineāri atkarīgas un neatkarīgas virknes. Sniegsim arī piemērus teorētiskā materiāla labākai izpratnei.

Lineāras virkņu kombinācijas definēšana

Lineāra kombinācija (LK) termiņš s₁ar₂, …, s_n matrica A sauc par izteiksmi šādā formā:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Ja visi koeficienti α_i ir vienādi ar nulli, tāpēc LC ir niecīgs. Citiem vārdiem sakot, triviālā lineārā kombinācija ir vienāda ar nulles rindu.

Piemēram: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

Attiecīgi, ja vismaz viens no koeficientiem α_i nav vienāds ar nulli, tad LC ir netriviāls.

Piemēram: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Lineāri atkarīgas un neatkarīgas rindas

Stīgu sistēma ir lineāri atkarīgi (LZ), ja ir netriviāla to lineāra kombinācija, kas ir vienāda ar nulles līniju.

No tā izriet, ka netriviāls LC dažos gadījumos var būt vienāds ar nulles virkni.

Stīgu sistēma ir lineāri neatkarīgs (LNZ), ja tikai triviālais LC ir vienāds ar nulles virkni.

Piezīmes:

• Kvadrātmatricā rindu sistēma ir LZ tikai tad, ja šīs matricas determinants ir nulle (o = 0).
• Kvadrātmatricā rindu sistēma ir LIS tikai tad, ja šīs matricas determinants nav vienāds ar nulli (o ≠ 0).

Problēmas piemērs

Noskaidrosim, vai stīgu sistēma ir {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} lineāri atkarīgi.

Lēmums:

1. Vispirms izveidosim LC.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Tagad noskaidrosim, kādām vērtībām vajadzētu būt α₁ и α₂lai lineārā kombinācija būtu vienāda ar nulles virkni.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Izveidosim vienādojumu sistēmu:

4. Sadaliet pirmo vienādojumu ar trīs, otro ar četriem:

5. Šīs sistēmas risinājums ir jebkurš α₁ и α₂, Ar α₁ = -3a₂.

Piemēram, ja α₂ = 2tAD α₁ =-6. Mēs šīs vērtības aizstājam vienādojumu sistēmā un iegūstam:

Atbilde: tātad līnijas s₁ и s₂ lineāri atkarīgi.