Šajā publikācijā mēs apsvērsim, kas ir Gausa metode, kāpēc tā ir nepieciešama un kāds ir tās princips. Mēs arī demonstrēsim, izmantojot praktisku piemēru, kā metodi var izmantot lineāro vienādojumu sistēmas risināšanai.
Gausa metodes apraksts
Gausa metode ir klasiskā metode mainīgo lielumu secīgai likvidēšanai, ko izmanto, lai atrisinātu . Tā nosaukta vācu matemātiķa Kārļa Frīdriha Gausa (1777-1885) vārdā.
Bet vispirms atcerēsimies, ka SLAU var:
- ir viens risinājums;
- ir bezgalīgs risinājumu skaits;
- būt nesaderīgiem, ti, tiem nav risinājumu.
Praktiski ieguvumi
Gausa metode ir lielisks veids, kā atrisināt SLAE, kas ietver vairāk nekā trīs lineārus vienādojumus, kā arī sistēmas, kas nav kvadrātveida.
Gausa metodes princips
Metode ietver šādas darbības:
- taisni – vienādojumu sistēmai atbilstošā paplašinātā matrica virs rindām tiek reducēta līdz augšējai trīsstūra (pakāpju) formai, ti, zem galvenās diagonāles jābūt tikai elementiem, kas vienādi ar nulli.
- atpakaļ – iegūtajā matricā elementi virs galvenās diagonāles arī ir iestatīti uz nulli (apakšējais trīsstūrveida skats).
SLAE risinājuma piemērs
Atrisināsim zemāk esošo lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi.
Šķīdums
1. Sākumā mēs piedāvājam SLAE paplašinātas matricas veidā.
2. Tagad mūsu uzdevums ir atiestatīt visus elementus zem galvenās diagonāles. Turpmākās darbības ir atkarīgas no konkrētās matricas, tālāk mēs aprakstīsim tās, kas attiecas uz mūsu gadījumu. Pirmkārt, mēs apmainām rindas, tādējādi ievietojot to pirmos elementus augošā secībā.
3. No otrās rindas divreiz atņem pirmo, bet no trešās – trīskāršo pirmo.
4. Pievienojiet otro rindiņu trešajai rindai.
5. Atņemiet otro rindu no pirmās rindas un tajā pašā laikā sadaliet trešo rindu ar -10.
6. Pirmais posms ir pabeigts. Tagad mums ir jāiegūst nulles elementi virs galvenās diagonāles. Lai to izdarītu, no pirmās rindas atņemiet trešo, kas reizināts ar 7, un pievienojiet trešo, kas reizināts ar 5, otrajai rindai.
7. Galīgā paplašinātā matrica izskatās šādi:
8. Tas atbilst vienādojumu sistēmai:
Atbilde: saknes SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.