Apgrieztās matricas atrašana

Šajā publikācijā mēs apskatīsim, kas ir apgrieztā matrica, kā arī, izmantojot praktisku piemēru, analizēsim, kā to var atrast, izmantojot īpašu formulu un secīgu darbību algoritmu.

Apgrieztās matricas definīcija

Vispirms atcerēsimies, kas matemātikā ir reciprokāli. Pieņemsim, ka mums ir skaitlis 7. Tad tā apgrieztā vērtība būs 7^-1 or ¹/₇. Sareizinot šos skaitļus, rezultāts būs viens, ti, 7 7^-1 = 1.

Gandrīz tas pats ar matricām. Mainīt tiek izsaukta šāda matrica, kuru reizinot ar sākotnējo, mēs iegūstam identitātes matricu. Viņa ir apzīmēta kā A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai

Lai atrastu apgriezto matricu, ir jāprot aprēķināt matricas, kā arī jābūt prasmēm ar tām veikt noteiktas darbības.

Uzreiz jāatzīmē, ka apgriezto vērtību var atrast tikai kvadrātveida matricai, un tas tiek darīts, izmantojot tālāk norādīto formulu:

|A| – matricas determinants;

A^T_M ir algebrisko saskaitījumu transponētā matrica.

Piezīme: ja determinants ir nulle, tad apgrieztā matrica neeksistē.

Piemērs

Meklēsim matricu A zemāk ir tā reverss.

Šķīdums

1. Vispirms atradīsim dotās matricas determinantu.

2. Tagad izveidosim matricu, kuras izmēri ir tādi paši kā oriģinālajai:

Mums ir jāizdomā, kuriem cipariem vajadzētu aizstāt zvaigznītes. Sāksim ar matricas augšējo kreiso elementu. Nepilngadīgais tiek atrasts, izsvītrojot rindu un kolonnu, kurā tas atrodas, ti, abos gadījumos ar pirmo numuru.

Skaitlis, kas paliek pēc pārsvītrojuma, ir nepieciešamais minors, ti M₁₁ = 8.

Līdzīgi mēs atrodam nepilngadīgos atlikušos matricas elementus un iegūstam šādu rezultātu.

3. Definējam algebrisko saskaitījumu matricu. Kā tos aprēķināt katram elementam, mēs aplūkojām atsevišķi.

Piemēram, elementam a₁₁ algebrisko saskaitīšanu uzskata šādi:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Veikt iegūtās algebrisko saskaitījumu matricas transponēšanu (ti, apmainīt kolonnas un rindas).

5. Atliek tikai izmantot iepriekš minēto formulu, lai atrastu apgriezto matricu.

Mēs varam atstāt atbildi šādā formā, nedalot matricas elementus ar skaitli 11, jo šajā gadījumā mēs iegūstam neglītus daļskaitļus.

Pārbauda rezultātu

Lai pārliecinātos, ka esam ieguvuši oriģinālās matricas apgriezto vērtību, mēs varam atrast to produktu, kam vajadzētu būt vienādam ar identitātes matricu.

Rezultātā mēs saņēmām identitātes matricu, kas nozīmē, ka mēs visu izdarījām pareizi.