Fermā mazā teorēma

Šajā publikācijā mēs apskatīsim vienu no galvenajām teorēmām veselo skaitļu teorijā -  Fermā mazā teorēmaNosaukts franču matemātiķa Pjēra de Fermā vārdā. Mēs arī analizēsim problēmas risināšanas piemēru, lai konsolidētu iesniegto materiālu.

Teorēmas paziņojums

1. Sākotnējais

If p ir pirmskaitlis a ir vesels skaitlis, kas nedalās ar ptAD a^p-1 - 1 dala ar p.

Formāli tas ir rakstīts šādi: a^p-1 ≡ 1 (pret p).

Piezīme: Pirmskaitlis ir naturāls skaitlis, kas dalās tikai ar XNUMX un sevi bez atlikuma.

Piemēram:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• skaits 15 dala ar 5 bez atlikuma.

2. Alternatīva

If p ir pirmskaitlis, a jebkurš vesels skaitlis a^p salīdzināms ar a modulo p.

a^p ≡ a (pret p)

Pierādījumu atrašanas vēsture

Pjērs de Fermā teorēmu formulēja 1640. gadā, taču pats to nepierādīja. Vēlāk to izdarīja Gotfrīds Vilhelms Leibnics, vācu filozofs, loģiķis, matemātiķis utt. Tiek uzskatīts, ka viņam jau bija pierādījums 1683. gadā, lai gan tas nekad netika publicēts. Zīmīgi, ka Leibnics teorēmu atklāja pats, nezinot, ka tā jau ir formulēta agrāk.

Pirmais teorēmas pierādījums tika publicēts 1736. gadā, un tas pieder šveicietim, vācietim un matemātiķim un mehāniķim Leonhardam Eileram. Fermā mazā teorēma ir īpašs Eilera teorēmas gadījums.

Problēmas piemērs

Atrodiet skaitļa atlikušo daļu 2¹² on 12.

Šķīdums

Iedomāsimies skaitli 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 ir pirmskaitlis, tāpēc ar Fermā mazo teorēmu iegūstam:

2¹¹ ≡ 2 (pret 11).

Līdz ar to 2⋅2¹¹ ≡ 4 (pret 11).

Tātad numurs 2¹² dala ar 12 ar atlikumu, kas vienāds ar 4.