Kāda ir funkcijas robeža

Šajā publikācijā aplūkosim vienu no galvenajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem – funkcijas robežu: tās definīciju, kā arī dažādus risinājumus ar praktiskiem piemēriem.

Funkcijas robežas noteikšana

Funkciju ierobežojums – vērtība, uz kuru tiecas šīs funkcijas vērtība, kad tās arguments tiecas līdz robežpunktam.

Ierobežojuma ieraksts:

• ierobežojums ir norādīts ar ikonu lim;
• zem tā tiek pievienots, uz kādu vērtību tiecas funkcijas arguments (mainīgais). Parasti šis x, bet ne obligāti, piemēram:x→1″;
• tad labajā pusē tiek pievienota pati funkcija, piemēram:

  

Tādējādi ierobežojuma galīgais ieraksts izskatās šādi (mūsu gadījumā):

Izlasa patīk “funkcijas robeža kā x tiecas uz vienotību”.

x→ 1 – tas nozīmē, ka “x” konsekventi pārņem vērtības, kas bezgalīgi tuvojas vienotībai, bet nekad ar to nesakritīs (tas netiks sasniegts).

Lēmumu robežas

Ar noteiktu numuru

Atrisināsim iepriekš minēto ierobežojumu. Lai to izdarītu, vienkārši nomainiet vienību funkcijā (jo x→1):

Tādējādi, lai atrisinātu ierobežojumu, vispirms mēģinām vienkārši aizstāt doto skaitli ar funkciju zem tā (ja x tiecas uz noteiktu skaitli).

Ar bezgalību

Šajā gadījumā funkcijas arguments palielinās bezgalīgi, tas ir, "X" tiecas uz bezgalību (∞). Piemēram:

If x→∞, tad dotajai funkcijai ir tendence mīnus bezgalība (-∞), jo:

• 3 - 1 = 2
• 3-10 = -7
• 3-100 = -97
• 3–1000–997 utt.

Vēl viens sarežģītāks piemērs

Lai atrisinātu šo ierobežojumu, vienkārši palieliniet vērtības x un aplūkojiet funkcijas “uzvedību” šajā gadījumā.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Tādējādi, par "X"tiecas uz bezgalību, funkcija x² + 3x - 6 aug bezgalīgi.

Ar nenoteiktību (x tiecas uz bezgalību)

Šajā gadījumā runa ir par robežām, kad funkcija ir daļa, kuras skaitītājs un saucējs ir polinomi. Kurā "X" tiecas uz bezgalību.

Piemērs: aprēķināsim zemāk esošo robežu.

Šķīdums

Izteiksmēm gan skaitītājā, gan saucējā ir tendence uz bezgalību. Var pieņemt, ka šajā gadījumā risinājums būs šāds:

Tomēr ne viss ir tik vienkārši. Lai atrisinātu ierobežojumu, mums jāveic šādas darbības:

1. Atrodiet x uz lielāko skaitītāja pakāpju (mūsu gadījumā tas ir divi).

2. Līdzīgi mēs definējam x uz saucēja augstāko pakāpi (arī vienāds ar diviem).

3. Tagad gan skaitītāju, gan saucēju dalām ar x vecākajā pakāpē. Mūsu gadījumā abos gadījumos – otrajā, bet, ja tie būtu atšķirīgi, jāņem augstākā pakāpe.

4. Rezultātā visas daļdaļas tiecas uz nulli, tāpēc atbilde ir 1/2.

Ar nenoteiktību (x tiecas uz noteiktu skaitli)

Gan skaitītājs, gan saucējs ir polinomi, tomēr "X" tiecas uz konkrētu skaitli, nevis uz bezgalību.

Šajā gadījumā mēs nosacīti pieveram acis uz to, ka saucējs ir nulle.

Piemērs: Tālāk atradīsim funkcijas ierobežojumu.

Šķīdums

1. Vispirms aizstāsim skaitli 1 funkcijā, uz kuru "X". Mēs iegūstam izskatāmās formas nenoteiktību.

2. Tālāk mēs sadalām skaitītāju un saucēju faktoros. Lai to izdarītu, varat izmantot saīsinātās reizināšanas formulas, ja tās ir piemērotas, vai.

Mūsu gadījumā izteiksmes saknes skaitītājā (2x² – 5x + 3 = 0) ir skaitļi 1 un 1,5. Tāpēc to var attēlot šādi: 2(x-1)(x-1,5).

Saucējs (x–1) sākotnēji ir vienkāršs.

3. Mēs iegūstam šādu modificētu ierobežojumu:

4. Daļu var samazināt par (x–1):

5. Atliek tikai aizstāt skaitli 1 izteiksmē, kas iegūta zem ierobežojuma: