Šajā publikācijā aplūkosim vienu no galvenajām Eiklīda ģeometrijas teorēmām – Stjuarta teorēmu, kas šādu nosaukumu ieguva par godu angļu matemātiķim M. Stjuartam, kurš to pierādīja. Mēs arī detalizēti analizēsim problēmas risināšanas piemēru, lai konsolidētu iesniegto materiālu.
Teorēmas paziņojums
Dan trīsstūris Ābece. Viņa pusē AC punkts ņemts D, kas ir savienots ar augšpusi B. Mēs pieņemam šādu apzīmējumu:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = un
Šim trīsstūrim vienādība ir patiesa:
Teorēmas pielietojums
No Stjuarta teorēmas var iegūt formulas, lai atrastu trijstūra mediānas un bisektrises:
1. Bisektora garums
Ļaut lc ir bisektrise, kas novilkta uz sāniem c, kas ir sadalīts segmentos x и y. Ņemsim pārējās divas trīsstūra malas kā a и b… Šajā gadījumā:
2. Vidējais garums
Ļaut mc ir mediāna pagriezta uz leju uz sāniem c. Apzīmēsim pārējās divas trīsstūra malas kā a и b… Tad:
Problēmas piemērs
Trijstūris dots ABC. Uz sāniem AC vienāds ar 9 cm, punkts ņemts D, kas sadala malu tā, ka AD divreiz garāks DC. Tā posma garums, kas savieno virsotni B un punkts D, ir 5 cm. Šajā gadījumā izveidots trīsstūris ABD ir vienādsānu. Atrodiet atlikušās trīsstūra malas Ābece.
Šķīdums
Problēmas nosacījumus attēlosim zīmējuma veidā.
AC = AD + DC = 9 cm. AD ilgāku DC divas reizes, ti AD = 2DC.
Līdz ar to 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Tātad, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Jo trīsstūris ABD – vienādsānu, un sānu AD ir 6 cm, tāpēc tie ir vienādi AB и BDIe AB = 5 cm.
Atliek tikai atrast BC, iegūstot formulu no Stjuarta teorēmas:
Mēs aizstājam zināmās vērtības ar šo izteiksmi:
Tādā veidā, BC = √52 ≈ 7,21 cm.