Kompleksā skaitļa paaugstināšana līdz dabiskajam pakāpēm

Šajā publikācijā mēs apsvērsim, kā kompleksu skaitli var palielināt līdz pakāpei (tostarp izmantojot De Moivre formulu). Teorētiskajam materiālam pievienoti piemēri labākai izpratnei.

Kompleksā skaitļa paaugstināšana līdz pakāpei

Pirmkārt, atcerieties, ka kompleksajam skaitlim ir vispārīga forma: z = a + bi (algebriskā forma).

Tagad mēs varam pāriet tieši uz problēmas risinājumu.

Kvadrātskaitlis

Mēs varam attēlot grādu kā to pašu faktoru reizinājumu un pēc tam atrast to produktu (to atceroties i² =-1).

z² = (a +bi)² = (a + bi) (a + bi)

Piemērs 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Varat arī izmantot, proti, summas kvadrātu:

z² = (a +bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Piezīme: Tādā pašā veidā, ja nepieciešams, var iegūt formulas starpības kvadrātam, summas / starpības kubam utt.

N pakāpe

Paaugstiniet komplekso skaitli z natūrā n daudz vieglāk, ja tas ir attēlots trigonometriskā formā.

Atcerieties, ka kopumā skaitļa apzīmējums izskatās šādi: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Paaugstināšanai varat izmantot De Moivre formula (tā nosaukts angļu matemātiķa Abrahama de Moivra vārdā):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formulu iegūst, rakstot trigonometriskā formā (moduļus reizina un argumentus saskaita).

piemērs 2

Paaugstiniet komplekso skaitli z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) līdz astotajai pakāpei.

Šķīdums

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).