Kompleksa skaitļa saknes izvilkšana

Šajā publikācijā mēs apskatīsim, kā var iegūt kompleksa skaitļa sakni, kā arī to, kā tas var palīdzēt atrisināt kvadrātvienādojumus, kuru diskriminants ir mazāks par nulli.

Kompleksa skaitļa saknes izvilkšana

Kvadrātsakne

Kā mēs zinām, nav iespējams iegūt negatīva reālā skaitļa sakni. Bet, runājot par kompleksajiem skaitļiem, šo darbību var veikt. Izdomāsim.

Pieņemsim, ka mums ir numurs z = -9. Forums √-9 ir divas saknes:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Pārbaudīsim iegūtos rezultātus, atrisinot vienādojumu z² =-9, to neaizmirstot i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Tādējādi mēs to esam pierādījuši -3i и 3i ir saknes √-9.

Negatīvā skaitļa sakni parasti raksta šādi:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i un tā joprojām

Sakne ar n spēku

Pieņemsim, ka mums ir doti formas vienādojumi z = ⁿ√w… Tā ir n saknes (z₀, No₁, No₂,…, z_n-1), ko var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:

|w| ir kompleksa skaitļa modulis w;

φ – viņa arguments

k ir parametrs, kas ņem vērtības: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadrātvienādojumi ar sarežģītām saknēm

Negatīvā skaitļa saknes izvilkšana maina parasto uXNUMXbuXNUMXb ideju. Ja diskriminants (D) ir mazāks par nulli, tad nevar būt reālas saknes, bet tās var attēlot kā kompleksos skaitļus.

Piemērs

Atrisināsim vienādojumu x² – 8x + 20 = 0.

Šķīdums

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64-80 = -16

D < 0, bet mēs joprojām varam iegūt negatīvā diskriminanta sakni:

√D = √-16 = ±4i

Tagad mēs varam aprēķināt saknes:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Tāpēc vienādojums x² – 8x + 20 = 0 ir divas sarežģītas konjugētas saknes:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i