Šajā publikācijā aplūkosim vienu no klasiskajām afīnās ģeometrijas teorēmām – Ceva teorēmu, kas šādu nosaukumu ieguva par godu itāļu inženierim Džovanni Čevam. Mēs arī analizēsim problēmas risināšanas piemēru, lai konsolidētu iesniegto materiālu.
Teorēmas paziņojums
Trijstūris dots Ābece, kurā katra virsotne ir savienota ar punktu pretējā pusē.
Tādējādi mēs iegūstam trīs segmentus (AA', BB' и CC'), kurus sauc cevians.
Šie segmenti krustojas vienā punktā tad un tikai tad, ja pastāv šāda vienādība:
|UN'| |NAV'| |CB'| = |BC'| |SHIFT'| |AB'|
Teorēmu var uzrādīt arī šādā formā (tiek noteikts, kādā proporcijā punkti sadala malas):
Cevas trigonometriskā teorēma
Piezīme: visi stūri ir orientēti.
Problēmas piemērs
Trijstūris dots Ābece ar punktiem UZ", B ' и VS ' uz sāniem BC, AC и AB, attiecīgi. Trijstūra virsotnes ir savienotas ar dotajiem punktiem, un izveidotie segmenti iet caur vienu punktu. Tajā pašā laikā punkti UZ" и B ' ņemti attiecīgo pretējo malu viduspunktos. Uzziniet, kādā proporcijā punkts VS ' sadala pusi AB.
Šķīdums
Zīmēsim zīmējumu atbilstoši uzdevuma nosacījumiem. Ērtības labad mēs izmantojam šādu apzīmējumu:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Atliek tikai sastādīt segmentu attiecību saskaņā ar Ceva teorēmu un aizstāt tajā pieņemto apzīmējumu:
Pēc frakciju samazināšanas mēs iegūstam:
Līdz ar to AC' = C'B, ti, punkts VS ' sadala pusi AB Uz pusēm.
Tāpēc mūsu trīsstūrī segmenti AA', BB' и CC' ir mediānas. Atrisinot problēmu, mēs pierādījām, ka tie krustojas vienā punktā (derīga jebkuram trīsstūrim).
Piezīme: izmantojot Ceva teorēmu, var pierādīt, ka trijstūrī vienā punktā krustojas arī bisektrise jeb augstumi.