Saturs
Šajā publikācijā mēs aplūkosim matricas ranga definīciju, kā arī metodes, ar kurām to var atrast. Mēs analizēsim arī piemērus, lai demonstrētu teorijas pielietojumu praksē.
Matricas ranga noteikšana
Matricas rangs ir tās rindu vai kolonnu sistēmas rangs. Jebkurai matricai ir rindu un kolonnu rangi, kas ir vienādi.
Rindu sistēmas rangs ir maksimālais lineāri neatkarīgo rindu skaits. Kolonnu sistēmas rangs tiek noteikts līdzīgi.
Piezīmes:
- Nulles matricas rangs (apzīmēts ar simbolu "θ“) jebkura izmēra ir nulle.
- Jebkura nulles rindas vektora vai kolonnas vektora rangs ir vienāds ar vienu.
- Ja jebkura izmēra matricā ir vismaz viens elements, kas nav vienāds ar nulli, tad tās rangs nav mazāks par vienu.
- Matricas rangs nav lielāks par tās minimālo izmēru.
- Elementāras transformācijas, kas veiktas uz matricas, nemaina tās rangu.
Matricas ranga atrašana
Fringing Minor metode
Matricas rangs ir vienāds ar maksimālo kārtu, kas nav vienāda ar nulli.
Algoritms ir šāds: atrodiet nepilngadīgos no zemākajiem līdz augstākajiem. Ja nepilngadīga nkārta nav vienāda ar nulli, un visas nākamās (n+1) ir vienādi ar 0, tātad matricas rangs ir n.
Piemērs
Lai padarītu to skaidrāku, ņemsim praktisku piemēru un noskaidrosim matricas rangu A zemāk, izmantojot nepilngadīgo robežu metodi.
Šķīdums
Mums ir darīšana ar 4 × 4 matricu, tāpēc tās rangs nevar būt augstāks par 4. Tāpat matricā ir elementi, kas nav nulle, kas nozīmē, ka tās rangs nav mazāks par vienu. Tātad sāksim:
1. Sāciet pārbaudīt otrās kārtas nepilngadīgie. Sākumā mēs ņemam divas pirmās un otrās kolonnas rindas.
Minor ir vienāds ar nulli.
Tāpēc mēs pārejam uz nākamo mazo (pirmā kolonna paliek, un otrās vietā mēs ņemam trešo).
Mazais ir 54≠0, tātad matricas rangs ir vismaz divi.
Piezīme: Ja šis nepilngadīgais izrādījās vienāds ar nulli, mēs turpmāk pārbaudītu šādas kombinācijas:
Ja nepieciešams, uzskaitījumu var turpināt tādā pašā veidā ar virknēm:
- 1 un 3;
- 1 un 4;
- 2 un 3;
- 2 un 4;
- 3 un 4.
Ja visi otrās kārtas nepilngadīgie būtu vienādi ar nulli, tad matricas rangs būtu vienāds ar vienu.
2. Mums izdevās gandrīz uzreiz atrast sev piemērotu nepilngadīgo. Tātad pāriesim pie trešās kārtas nepilngadīgie.
Otrās kārtas atrastajam minoram, kas deva rezultātu, kas nav nulle, pievienojam vienu rindu un vienu no zaļā krāsā iezīmētajām kolonnām (sākam no otrās).
Nepilngadīgais izrādījās nulle.
Tāpēc mēs mainām otro kolonnu uz ceturto. Un otrajā mēģinājumā mums izdodas atrast nepilngadīgo, kas nav vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka matricas rangs nevar būt mazāks par 3.
Piezīme: ja rezultāts atkal izrādītos nulle, tad otrās rindas vietā ceturto paņemtu tālāk un turpinātu “labā” nepilngadīgā meklēšanu.
3. Tagad atliek noteikt ceturtās kārtas nepilngadīgie pamatojoties uz iepriekš atrasto. Šajā gadījumā tas ir tāds, kas atbilst matricas determinantam.
Minor ir vienāds ar 144≠0. Tas nozīmē, ka matricas rangs A vienāds ar 4.
Matricas reducēšana uz pakāpienu formu
Pakāpju matricas rangs ir vienāds ar tās rindu skaitu, kas nav nulles. Tas ir, viss, kas mums jādara, ir matrica atbilstošā formā, piemēram, izmantojot , kas, kā jau minējām iepriekš, nemaina tās rangu.
Piemērs
Atrodiet matricas rangu B zemāk. Mēs neņemam pārāk sarežģītu piemēru, jo mūsu galvenais mērķis ir vienkārši demonstrēt metodes pielietojumu praksē.
Šķīdums
1. Vispirms no otrās rindas atņemiet divkāršoto pirmo.
2. Tagad atņemiet pirmo rindu no trešās rindas, kas reizināta ar četriem.
Tādējādi mēs ieguvām soļu matricu, kurā nulles rindu skaits ir vienāds ar diviem, tāpēc arī tās rangs ir vienāds ar 2.